结构的振动分析将涉及到模态分析(modal analysis)、瞬态动力学分析(transient dynamics analysis)、简谐响应分析(harmonic response analysis)、随机谱分析(spectrum analysis) 等方面，其中结构的模态分析（固有频率与振型）将是所有振动分析的基础，下面将就结构的模态分析进行阐述。

结构振动分析的基本方程

描述结构动力学特征的基本力学变量和方程与静力问题类似，但增加了惯性力项和阻尼力项，且所有的变量都将随时间而变化。

结构振动的三大变量

• 位移：u(ξ,t)，v(ξ,t)

• 应变：εx(ξ,t)，εy(ξ,t)，γxy(ξ,t)
• 应力：σx(ξ,t)，σy(ξ,t)，τ(ξ,t) 是坐标位置ξ(x,y,z) 和时间t 的函数。

结构振动的三大类方程及边界/初始条件

1. 平衡方程（考虑惯性力和阻尼力）

2. 几何方程

3. 物理方程

4. 边界/初始条件BC/IC

• 位移边界条件BC(u)

• 力边界条件BC(p)

• 初始条件IC(initial condition)

结构振动的有限元分析列式

用于动力学问题分析的单元构造与静力问题相同，不同之处是所有基于节点的基本力学变量也都是时间的函数。

单元的节点位移列阵为

单元内的位移插值函数为

其中，N(ξ) 为单元的形状函数矩阵，与相对应的静力问题单元的形状函数矩阵完全相同，ξ 为单元中的几何位置坐标。

基于上面的几何方程和物理方程以及上式，将相关的物理量（应变和应力）表达为节点位移的关系，有

单元有限元方程

将单元的各个矩阵进行组装，可形成系统的整体有限元方程，即

1. 静力学情形 (static case)

由于与时间无关，则

退化为

2. 无阻尼情形 (undamped system)

此时v=0，则方程

退化为

3. 无阻尼自由振动情形 (free vibration of undamped system)

则v=0，Pt=0，方程

退化为

其振动形式叫做自由振动 (free vibration)，该方程解的形式为

这是简谐振动的形式，其中ω 为常数。将其代入

有

上式有非零解的条件是

这就是特征方程(eigen equation)，ω为自然圆频率(natural circular frequency)(rad/sec)，也叫圆频率，对应的频率为f=ω/2π(Hz)。求得自然圆频率ω 后，再将其代入方程

可求出对应的特征向量 (eigen vector)ˆq ，这就是对应于振动频率ω 的振型 (mode)。

常用单元的质量矩阵

结构振动分析将涉及到结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，由

可知，动力学问题中的刚度矩阵与静力问题的刚度矩阵完全相同，而质量矩阵则通过下式来进行计算

对于一种单元，只要得到它的形状函数矩阵，就可以容易地计算出质量矩阵。由阻尼矩阵的计算公式

可知，它的计算与质量矩阵相同，只是有关的系数不同而已。下面给出常见单元的质量矩阵。

杆单元的质量矩阵

质量矩阵分为两种，即一致质量矩阵和集中质量矩阵。

1. 一致质量矩阵

对于二节点杆单元，在局部坐标内有节点位移列阵和形状函数矩阵

相应的质量矩阵为

所谓一致质量矩阵 (consistent mass matrix) 是指，推导质量矩阵时与推导刚度矩阵时所使用的形状函数矩阵相“一致”。

2. 集中质量矩阵

将该二节点杆单元的质量直接对半平分，集中到二个节点上，就可以得到集中质量矩阵 (lumped mass matrix)为

可以看出，集中质量矩阵的系数都集中在矩阵的对角线上，也就是说对应于各个自由度的质量系数相互独立，相互之间无耦合；而一致质量矩阵的系数则有相互耦合。

平面三节点三角形单元的质量矩阵

1. 一致质量矩阵

2. 集中质量矩阵

来源：节选自《有限元分析及应用》，作者：曾攀 清华大学

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